Liste des cours :

Azzouz Awane
« Géométrie k-symplectique »

«La théorie des feuilletages, la théorie des formes de contact ont connu ces derniers temps un grand développement tant leurs implications dans le domaine de la mécanique sont naturelles. Elles font partie du cadre de ce que J. Dieudonné appelle la ”grande théorie des systèmes de Pfaff d’Elie Cartan” et qui de nos jours encore est loin d’être achevée. La mécanique symplectique est, quant à elle, liée au comportement d’une forme extérieure de degré deux. Nous savons qu’un tel modèle est insuffisant pour décrire des événements plus généraux comme on peut en rencontrer en mécanique statistique. Une approche possible est dans une description des systèmes dynamiques associés, non pas par une équation extérieure, mais par un système d’équations extérieures. Cette démarche originale permet déjà de récupérer les équations de la mécanique statistique proposée par Nambu. Un des buts de ce cours est de donner les fondements d’une mécanique ”multi-symplectique”. La partie principale de ce cours est consacrée à l’étude différentielle des systèmes multi-symplectiques. La classification des systèmes extérieurs de formes de degré 2 montre l’existence d’une infinité de modèles. Des conditions d’existence de solutions maximales de dimension maximum permettent de ne décrire qu’un seul système, celui correspondant aux systèmes k-symplectiques. Ces derniers apparaissent donc comme des modèles de systèmes de 2-formes extérieures de rang maximum. L’intérêt de commencer par leur étude est, dans ce cadre, évident. On commence par définir les notions de systèmes dynamiques hamiltoniens, de crochet de Poisson. On décrit ensuite les variétés différentielles affines (les plus simples) munies d’une telle structure et on fait le lien avec les modèles de la mécanique statistique proposés par Y, Nambu, tout en faisant usage des notions classiques de géométrie différentielle : connexion, G-structure, réduction, cohomologie, ... »

Luisa Camacho
« Leibniz algebras »

«Leibniz algebras were discovered by A. Bloh in 1965 and called them D-algebras as a consequence of their connections with derivations. These algebras were introduced as a generalization of Lie algebras in [3]. Later, due to a new point of view given by Loday in 1993 ([6]) (inuenced by the works [4] and [5]), the Leibniz algebras became further investigated because of the relationship between this family of algebras and the K-Theory. Roughly speaking, the Lie algebra homology is related to the appearance of cyclic homology. In this way, Leibniz algebras are the non-commutative generalization of Lie algebras. Active investigation on Leibniz algebra theory shows that many results of the theory of Lie algebras can be extended to Leibniz algebras. Distinctive properties of non-Lie Leibniz algebras have also been studied [1, 2].»

Alberto Elduque
« Algèbres de composition et applications géométriques »

«Nous introduisons les algèbres réelles de division des quaternions et octonions et nous prouverons les propriétés fondamentales. De la même façon que les nombres complexes son obtenus par duplications de nombres réelles, on obtiendra l'algèbre des quaternions par duplication des nombres complexes. Puis, nous verrons comment les quaternions peuvent être utilisés pour décrire les rotations dans les espaces de dimension 3 et 4. L'algèbre des octonions s'obtient par duplication des quaternions. Cette algèbre n'est pas associative, mais elle n'est pas très loin d'être associative, et beaucoup de propriétés des quaternions s'étendent aux octonions. Les octonions sont liés à beaucoup de situations exceptionnelles en algèbre et géométrie. Certaines parmi celles-ci seront décrites.»

Abdenacer Makhlouf
« Twisted non associative algebraic structures. Extensions and deformations »

«The purpose of this course is to describe a general framework motivated by quasi-deformations of Lie algebras of vector fields. Discrete modifications of vector fields via twisted derivations lead to Hom-Lie and quasi-Hom-Lie structures in which the Jacobi condition is twisted. The first examples of q-deformations, in which the derivations are replaced s-derivations, concerned the Witt and Virasoro algebras. We aim in this course to study properties, extensions and deformations of different types of twisted non associative algebras and their relationships. »

Amina Ouazzani Chahdi
« Caractérisations de Courbes Spéciales moyennant les Indicatrices Sphériques »

« La géométrie différentielle étudie les propriétés locales des courbes qui sont liées à la métrique de l'espace ambiant et aux dérivées des équations locales ou des paramétrisations locales des courbes considérées. On attache aux courbes en chacun de leurs points des trièdres de références, dits repères mobiles liés à la courbe. Les Indicatrices Sphériques des repères orthonormés mobiles attachés à une courbe donnée s'obtiennent en translatant des champs de vecteurs unitaires au centre de la sphère unité d'un espace euclidien de dimension 3. Les extrémités des vecteurs des champs décrivent une courbe sur la surface de la sphère dite indicatrice de la courbe. L'étude de ces courbes sphériques obtenues, permet une meilleure connaissance de la courbe initiale. Il en découle des résultats importants qui permettent de caractériser certaines courbes spéciales comme l'hélice générale et l'hélice oblique. »

Antonio Peralta
« New classes of local and 2-local maps on C*-algebras, JB*-algebras, and JB*-triples »

« The Kowalski-S lodkowski theorem (see [12]) constitute a successful attempt to relax the asumption of linearity on the classic Gleason-Kahane-Zelazko at the cost of requiring a good local behaviour like a character of the corresponding mapping at every two points in the domain. It is commonly assumed by many authors that these theorems, due to Gleason, Kahane and Zelazko, and Kowalski and Slodkowski, are the starting points for introducing the first studies on local and 2-local derivations and automorphisms on C*- and von Neumann algebras conducted by Kadison [11], Larson and Sourour [14], and Semrl [17], respectively. »